Question

设函数，.

（1）若，，求函数的单调区间；

（2）若曲线在点处的切线与直线平行.

①求，的值；

②求实数的取值范围，使得对恒成立.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）①；②.

【解析】

（1）求出后讨论其符号可得函数的单调区间.

（2）根据函数在处切线的斜率可得，构建新函数，就分类讨论的单调性后可得的取值范围.

（1）当，时，，，

则.

当时，；当时，；

所以的单调增区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）（ⅰ）因为，

所以.

依题设有，即.

解得.

（ⅱ）由（ⅰ）得，.

对恒成立即对恒成立.

令.则有.

①当时，当时，，

所以在上单调递增.

所以，即当时，恒成立；

②当时，当时，，

所以在上单调递减，

故当时，，

即当时，不恒成立.

综上，.