Question

某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：米）的半球体，下层是半径为米，高为米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设每座帐篷的建造费用为千元.

参考公式：球的体积，球的表面积，其中为球的半径.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径为何值时，每座帐篷的建造费用最小，并求出最小值.

Answer

（1），定义域为；（2）当半径为时，建造费用最小，最小为千元．

【解析】

（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，即可求出函数的定义域

（2），，根据导函数求出其最小值即可．

解：（1）由题意可得，所以，

所以，即；

因为，，所以，则，所以定义域为，

故，定义域为；

（2）设，，则，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，取极小值也是最小值，且．

当半径为时，建造费用最小，

答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．