答案：
（1）[2,+∞）；（2）0≤a≤4．
【解析】
（1）将函数写成分段函数的形式，画出函数图像，数形结合求得不等式解集；
（2）将恒成立问题转化为求解绝对值不等式的最值问题，再利用绝对值三角不等式求得最值即可.
（1）a＝1时，
函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1；
画函数f（x）的图象，如图所示；
由图象知，不等式f（x）≥0的解集为[2,+∞）；
（2）令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，
即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（*）；
设g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，
则g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，
当且仅当时，或时，取得最大值.
不等式（*）可化为|a﹣2|≤2，
即﹣2≤a﹣2≤2，
解得0≤a≤4；
所以实数a的取值范围是0≤a≤4．