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如图所示，在平面直角坐标系中，点是抛物线上的点，直线交直线于点.

（1）求长度的最小值；

（2）若点也是抛物线上的点，且，直线交直线于点.求四边形的面积的最小值.

 

答案：
（1）（2） 【解析】 (1) 设,再根据直线的方求程得,进而表达出,再根据求导分析最值即可. (2) 设,因为,化简可得,再根据(1)中的表达式,同理可得的表达式,进而求得四边形的面积表达式,再根据基本不等式与为定值求解最值即可. 解：设,则直线的方程为 令,得,所以 所以 不妨设,构造函数 因为 列表如下： 减 极大 增 当时,取得极小值也是最小值, 所以 设,因为 所以,可得 由得,所以 所以 当且仅当时等号成立. 所以四边形的面积的最小值为.
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如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，在棱上.

（1）若为棱的中点，求二面角的正弦值；

（2）若直线与平面所成角为，求

 

在极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断曲线与的位置关系.

 

已知矩阵，，且

（1）求实数；

（2）求矩阵的特征值.

 

设函数.

（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值：若不存在，说明理由：

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围：

（3）若函数存在两个极值点，证明：

 

在平面直角坐标系：中，椭圆的左右顶点分别为，动点为椭圆上一点（异于）.当直线的方程为时，

（1）求椭圆的方程：

（2）过点作直线的垂线，过点作直线的垂线与交于点.求正实数，使得满足的点均在椭圆上.