Question

已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，求的最大值．

Answer

（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；

（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值.

（1），，，

当，即时，，此时在上单调递增；

当时，有两个负根，此时在上单调递增；

当时，有两个正根，分别为，，

此时在，上单调递增，在上单调递减．

综上可得:时，在上单调递增，

时，在，上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）可得，，

，，

∵，，∴，，

∴

令，则

当时，；当时，

∴在上单调递增，在单调递减

∴

∴的最大值为．