Question

已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点M在线段上.

（1）若M为的中点，且直线与由A，D，E三点所确定平面的交点为G，试确定点G的位置，并证明直线面；

（2）是否存在M，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时的值，若不存在，说明理由.

Answer

（1）点G在平面与平面的交线上，见解析；（2）存在，或

【解析】

（1）根据平面的基本性质可求得点G的位置，再根据平面几何中矩形和三角形的性质得出线线平行，根据线面平行的判定定理可得证；

（2）由已知可得，，，所以平面，所以平面平面，取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设出点的坐标，根据线面角的空间坐标计算公式可得的坐标，可得解.

（1）因为直线平面，故点G在平面内也在平面内，所以点G在平面与平面的交线上（如图所示），

因为，M为的中点，所以，所以，，

所以点G在的延长线上，且，连结交于N，

因为四边形为矩形，所以N是的中点，连结，因为为的中位线，所以，

又因为平面，所以直线面.

（2）由已知可得，，，所以平面，所以平面平面，

取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，所以，，

设（），则，设平面的法向量，则

，取，则，，所以，

与平面所成的角为，所以，

所以，所以，解得或，此时或，

所以存在点M，使得直线与平面所成的角为.