Question

已知函数（）的图象为曲线．

（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；

（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

Answer

(1)(2)(3) 不存在一条直线与曲线C同时切于两点

【解析】

试题解：（Ⅰ），则，

即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；

（Ⅱ）由（1）可知，

解得或，由或

得：；

（Ⅲ）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，

，

则切线方程是：，

化简得：，

而过B的切线方程是，

由于两切线是同一直线，

则有：，得，

又由，

即

，即

即，

得，但当时，由得，这与矛盾．

所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.