Question

已知函数，.

（1）求的单调区间和极值；

（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围.

Answer

（1）的单调递增区间；单调递减区间是，，极小值，极大值；（2）.

【解析】

（1）求导，根据导数的正负可得函数的单调性，进而得函数的极值.

（2）对于任意的，总存在，使得，显然

，故，设，，上式等价于，分类讨论求出的取值范围.

（1）由已知，有.令，解得或.

当变化时，，的变化情况如下表：

0

-

0

+

0

-

0

所以，的单调递增区间；单调递减区间是，.

当时，有极小值，且极小值；

当时，有极大值，且极大值.

（2）由及（1）知，当时，；

当时，.设集合，

集合，

则“对于任意的，都存在，

使得”等价于，显然.下面分三种情况讨论：

（i）当，即时，由可知，，而，

所以不是的子集.

（ii）当，即时，有，

且此时在上单调递减，故，因而.

由，有在上的取值范围包含，则，所以.

（iii）当，即时，有，且此时在上单调递减，

故，，所以不是的子集.

综上的取值范围是.