Question

在数列中，，，设，.

（1）求证：数列是等差数列，并求通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

Answer

（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

（1）证法一：由条件两边取倒数可得：，可得，即可证明；证法二：由条件代入递推关系式得，即可证明.

（2）由（1）知，，利用错位相减法即可求得.

证法一：解：（1）由条件知，，

所以，，所以，，

又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，

故数列的通项公式为：.

证法二：由条件，得，

又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，

故数列的通项公式为：.

（2）由（1）知，，

则，①

，②

由①－②得，

，

∴.