Question

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC2，E为AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE翻折到图2中△A₁BE的位置得到四棱锥A₁﹣BCDE．

（1）求证：CD⊥A₁C；

（2）若A₁C，BE＝2，求点C到平面A₁ED的距离．

Answer

（1）见解析（2）．

【解析】

（1）证明BE⊥AC，BE⊥平面OA1C ，得到CD⊥平面OA1C，得到答案.

（2）建立分别以OB，OC，OA1所在的方向为x，y，z轴的空间直角坐标系，计算平面A1ED的法向量（1，，），计算得到答案.

（1）证明：如图1，连接CE，∵AE∥BC，AE＝BC，∴四边形ABCE是平行四边形．

∴AB∥CE，AB＝CE．∴AB＝BC＝AE＝CE＝2，∴▱ABCE是菱形．∴BE⊥AC．

∴在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC．∴BE⊥平面OA1C．

由题意，可知AE＝ED＝2，故ED＝BC．

又∵ED∥BC，ED＝BC．∴四边形EBCD是平行四边形．∴BE∥CD，

∴CD⊥平面OA1C．∴CD⊥A1C．

（2）在Rt△OAE中，AE＝2，OE，则OA＝1，故OC＝OA＝1．

在△OA1C中，OC＝OA1＝1．A1C，则OC2+OA12＝A1C2，

∴△OA1C是等腰直角三角形．

∴OA1⊥OC，∵BE⊥平面OA1C．∴OA1⊥BE，∴OA1⊥平面BCDE．

如图2，建立分别以OB，OC，OA1所在的方向为x，y，z轴的空间直角坐标系，

则A1（0，0，1），E（，0，0），D（﹣2，1，0），C（0，1，0）．

设平面A1ED的法向量（1，x，y），

∵（，0，﹣1），（﹣2，1，﹣1），

∴，即，解得．

∴（1，，）．

∵（0，1，﹣1）．

∴点C到平面A1ED的距离d．