Question

已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设是过点且关于直线对称的两条直线，与交于两点，与交于两点.求证：．

Answer

（I），(t为参数) ；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

(1)可根据极坐标方程与直角坐标方程的转化以及参数方程的性质得出结果；

(2)首先可以通过“关于直线对称”得出的倾斜角互补并设出的倾斜角，然后将直线的参数方程带入抛物线方程并根据韦达定理得出的值，再然后使用相同的方法得出的值，即可证得．

(1)，(t为参数)

(2)因为关于直线对称,

所以的倾斜角互补，设的倾斜角为，则的倾斜角为，

把直线(t为参数)代入，

整理得，

根据韦达定理得，即，

同理即，

所以，即．