Question

已知函数，．

Ⅰ讨论的单调性；

Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，当时，在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅱ）

【解析】

Ⅰ求出原函数的导函数，可得当时，，在上是单调增函数；当时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ可得，当时，求出函数的最大值，把不等式恒成立，转化为在时恒成立，换元后利用导数求最值得答案．

Ⅰ，

．

当时，，在上是单调增函数；

当时，．

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，在上是单调增函数，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

Ⅱ由Ⅰ可得，当时，．

由不等式恒成立，得恒成立，

即在时恒成立．

令，，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减．

的最大值为．

由，得．

实数b的取值范围是．