Question

已知椭圆，，分别是的上顶点和下顶点.

（1）若，是上位于轴两侧的两点，求证：四边形不可能是矩形；

（2）若是的左顶点，是上一点，线段交轴于点，线段交轴于点，，求.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1），计算，的斜率的乘积，根据斜率公式即可证明.
（2）设，分别求出直线的方程，求出点的坐标，再根据，结合点在椭圆上即可求出．

解法一：（1）依题意，，.

设，则，且，

设直线，的斜率分别为，，

则，

所以与不垂直，所以四边形不可能是矩形.

（2）设，则，，且，

所以直线，令，得，

所以，

直线，所以，

又因为，所以，所以.

由得，，

解得或（舍去），

所以，，，故.

解法二：（1）假设四边形为矩形，

因为，关于原点对称，所以直线原点且，

设直线，，，

由得，解得，

所以，

所以，显然不成立，

所以假设不成立，所以四边形不可能是矩形.

（2）同解法一.