Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）直线l的参数方程为，（t为参数），直线l与x轴交于点F，与曲线C的交点为A，B，当取最小值时，求直线l的直角坐标方程．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由二倍角公式的逆运用化简已知方程，再由极坐标方程与普通方程间的关系化为普通方程；

（2）由直线l的参数方程可知其与x轴交于点，即为抛物线C的焦点,从而由参数方程中t的几何意义可知，为直线l的参数方程与抛物线C的普通方程联立之后的方程的两根，即可表示，进而由三角函数求最值，得其答案.

（1）由题意得，

得，得，

，，

，即曲线C的普通方程为．

（2）由题意可知，直线l与x轴交于点，即为抛物线C的焦点，

令，，

将直线l的参数方程，代入C的普通方程中，

整理得，

由题意得，根据根与系数的关系得，

，，

（当且仅当时，等号成立），

当取得最小值时，直线l的直角坐标方程为．