答案：
（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）令求出的值，令，由得出，两式相减可得出，再对的值进行验证即可得出数列的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出；
（2）利用导数证明出不等式，可得出，利用不等式的性质可得出，再由进而可证明出结论成立.
（1）数列满足，.
当时，；
当时，由得，
两式相减得，，
满足，所以，对任意的，.
，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
因此，；
（2）先证明．
令，则，由.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，函数取得最大值，即，
当时，.
令，则，化为，
则，，，，
上述不等式全部相加得，则，
，所以，.