Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.

Answer

（I）见解析；（II）见解析

【解析】

（Ⅰ）运用零点法，把函数的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；

（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当，时，，即，所以.这样，注意到，最后可以得出：

.

（Ⅰ）函数可化为，

当时，，从而在上总是递减的，

当时，，此时要考虑与1的大小.

若，则，故在上递增，

若，则当时，，当时，，故在上递减，

在上递增，而在处连续，所以

当时，在上递减，在上递增；

当时，在上递减，在上递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当，时，，即，所以.所以

.