Question

在直角坐标系中，，动点满足：以为直径的圆与轴相切.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线过点且与交于两点，当与的面积之和取得最小值时，求直线的方程.

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题（1）设点，圆心，由圆与轴相切于点，得|，结合两点间的距离公式整理可得点P的轨迹方程为 ；
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为 ，可得 ．

（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为 联立直线方程与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得

再由 ，结合等号成立的条件求得的值，进一步得到值，则与的面积之和取得最小值时，直线的方程可求

试题解析：

（1）设点，圆心，

圆与轴相切于点，则，

所以，

又点为的中点，所以，

所以，整理得：.

所以点的轨迹方程为：.

（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，方程为：，

易得.

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设方程为：，，，

由消去并整理得：，

所以，，

所以 ，

当且仅当时等号成立，又，

所以，或，，

所以，解得：，

因为，所以当两个三角形的面积和最小时，

直线的方程为：.

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