Question

如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明平面即可证得；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.

（1）设与交点为，连接，.

由题可知四边形为正方形，所以，且为中点.

又因，，

所以，所以.

又因为，所以平面.

因为平面，所以.

（2）取的中点，连接，，在平面过点内作的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系.

设，则，，，.

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，令，则.

由（1）可知平面的一个法向量为，

则.

由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.