Question

已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线与轴的交点为，过点的直线与椭圆相交与两点，连接点并延长，交轨迹于一点.求证：.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）因为的最大值为4，根据椭圆的定义，利用基本不等式求得，再根据直线的斜率之积为，有，求得，写出椭圆方程.

（2）由条件知，设直线的方程，与椭圆方程联立，消得，设，则.

由根与系数的关系得，.，设直线的方程为，

所以，得，因为要证.根据椭圆的对称性，只要证得点与 关于x轴对称， 即.

（1）根据题意，

又设，所以，所以，

故，从而椭圆的标准方程为.

（2）根据题意，，所以设直线的方程，

联立，消得，

，即.

设，则.

由根与系数的关系得，.

设直线的方程为，

所以，得，

所以

所以

.

所以

故，

所以.