Question

在如图（1）梯形中，，过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接与交于点，由，得到，由比例关系得到，再由线面平行的判定定理证明.

（2）根据由，得四边形为平行四边形，由，，得，再由，得平面，所以，从而平面，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求得平面BMD和平面得一个法向量，再利用面面角的向量法求解.

（1）如图所示：

连接与交于点，，则

，，

又平面，平面，

∴平面.

（2）证明：由，

得四边形为平行四边形，

所以，，

所以，

所以，

又，

所以平面，所以，

又，平面

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以

设平面BMD的一个法向量为，

所以

令，则，

又平面得一个法向量为，

所以，

又平面与平面所成的二面角显然为锐角，

所以平面与平面所成的二面角的余弦值.