Question

临川一中实验学校坐落在抚州火车站附近，在校区东边（如图），有一直径为8米的半圆形空地，现计划移植一古树，但需要有辅助光照.半圆周上的处恰有一可旋转光源满足古树生长的需要，该光源照射范围是，点在直径上，且.

（1）若，求的长；

（2）设，求该空地种植古树的最大面积.

Answer

(1)或；(2).

【解析】

（1）在中，由余弦定理即可求得的长；

（2）在和中，由正弦定理用表示出和，再利用三角函数的最值求解面积的最大值.

（1）在直角三角形中，因为，直径

故可得..

在中，由余弦定理可得.

代入可得，解得.

故或.

（2）根据题意,

在中，由正弦定理得：

，解得

在中，由正弦定理得：

，解得，

故三角形的面积为：

因为，故可得

故当时，取得最大值，最大值为.

该空地种植古树的最大面积为.