Question

江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).

（1）共有多少种分配方案？

（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？

（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.

Answer

（1）210；（2）240；（3）168.

【解析】

（1）将问题转化为不定方程的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解；

（2）将问题转化为不定方程的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解；

（3）将问题转化为不定方程方程的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解.

（1）由题意得：问题转化为不定方程的非负整数解的个数，

∴方程又等价于不定方程的正整数解的个数，

利用隔板原理得：方程正整数解的个数为，

∴共有多少种分配方案.

（2）将问题转化为不定方程的正整数解个数，分组后再进行排列，

∵不定方程的正整数解个数为，

∴共有种方法.

（3）设6名学生在3个安检的人数分别为，

∵方程非负整数解的个数等价于方程的正整数解的个数，

∴6人进站的不同方案种数为.