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已知，，记，.

（1）求的最大值；

（2）若，是否存在，使得？并说明理由.

 

答案：
（1）1 （2）存在,理由见解析. 【解析】 （1）将，代入中，配成二次函数形式，结合二次函数性质即可求得最大值. （2）假设存在，使得和同时成立，利用换元法令将方程组化简后再令可得关于的一元二次不等式.结合判别式即可判断是否存在正数解，即可判断是否存在. （1），，记， 则 当且仅当时取等号 所以的最大值为1 （2）存在，使得.理由如下: 假设存在，使得. 则 令 则方程组可化为 令 将上述方程组化为 则且 所以由正实数根，即存在正数满足方程 因此存在使得为正数 也就是存在，使得，同时成立
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已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线与直线有唯一公共点，求实数的值.

 

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证: .

 

已知在椭圆上，为右焦点，轴，为椭圆上的四个动点，且，交于原点.

（1）判断直线与椭圆的位置关系；

（2设，满足，判断的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形面积的最大值，否则说明理由.

 

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中，

（1）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；

（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点的声音能量等于声音能量与之和.请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，

 

如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.