Question

已知椭圆的两个焦点为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的中点的横坐标为，求直线l的斜率的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由题设条件，得到，根据，即可得到椭圆的方程；

（2）设，代入方程两式相减，利用中点公式，求得，再根据在椭圆的内部，得到的不等式，可求解的取值范围.

（1）由题意，椭圆的两个焦点为，短轴长为2，

可得椭圆的焦点在y轴上，且，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，且MN的中点为，

由，两式相减得，

变形得，由中点公式可得，

因为在椭圆的内部，所以有，解得或.

所以直线l的斜率的取值范围为.