Question

已知函数.

（1）若函数有唯一的零点，求的值；

（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）或； （2）

【解析】

（1）若函数有唯一的零点，等价于有唯一实根，对进行讨论，结合二次方程的根的存在条件即可求解；

（2）等价于，设，分，和三种情况，考虑的最小值即可得到本题答案.

解：（1）若函数有唯一的零点，等价于有唯一实根；

若，则方程为，方程根为，满足题意；

若，则，得；

综上，或；

（2）设，若对任意的，不等式恒成立等价于恒成立，

设，

若，即，则在上递增，

所以；

若，即，则在上递减，在上递增，

所以；

若，即，则在上递减，

所以；

综上所述：.