Question

已知函数（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是.

（1）求的值；（2）求的单调区间；

（3）设（其中为的导函数）．证明：对任意，

Answer

（1）;（2）单调递增区间是，单调递减区间是;（3）见解析.

【解析】

【试题分析】（1）依据题设导数的几何意义建立方程分析求解；（2）依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（3）先将不等式进行等价转化，再借助导数分析推证：

（1）由得.由已知得，解得.又，即，.

（2）由（1）得，令，

当时，；当时，，又当时，；

当时，，的单调递增区间是，的单调递减区间是

（3）由已知有，于是对任意等价于，由（2）知，，易得，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减.的最大值为，故.设则，因此，当，单调递增，，故当时，，即..对任意