Question

定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y=| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：

①函数是上的“平均值函数”．

②若是上的“平均值函数”，则它的均值点x₀≥．

③若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．

④若是区间[a.，b] （b>a.≥1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．

其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）

Answer

①③④

【解析】

直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明，结合导数可证明④的正误.

解：①由，可得

由，可得满足“平均值函数”，故①正确；

②举反例，令，，可得，又，故②错误；

③ 由函数是上的“平均值函数”，所以关于的方程：

在区间内有实数根，

由，可得，可得，或，

又，故必为均值点，即，可得，故③ 正确；

④由题意得：，要证明，

即证明：，

令，原式子等价于：，

令，可得，

故在区间是减函数，故，故④正确；

故答案为：①③④.