Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（2）若PD∥平面EAC，求三棱锥P-EAD的体积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由线线垂直得线面垂直AC⊥平面PBD，再根据面面垂直判定定理得结果．

（2）根据等体积法得，再根据锥体体积公式得结果.

(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（2）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，

∴PD∥OE，

∵O是BD中点，∴E是PB中点．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴三角形ABD为正三角形．

∵PD⊥平面ABCD，

∴

==．