Question

如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c，这时我们把关于x的形如ax²+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

写出一个“勾系一元二次方程”；

求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+cx+b=0必有实数根；

若x=−1是“勾系一元二次方程”ax²+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC面积.

Answer

详见解析.

【解析】试题分析：（1）直接找一组勾股数代入方程即可；

（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；

（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．

试题解析：

（1）解：令a＝3，b＝4则c＝5，写出一个“勾系一元二次方程”：3x²＋5x＋4＝0；

（2）证明：

∵△＝（c）²−4ab＝2c²−4ab＝2（a²＋b²）−4ab＝2（a²−2ab＋b²）＝2（a−b）²≥0，

∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²＋cx＋b＝0必有实数根；

（3）代入x＝−1得a−c＋b＝0，∴a＋b＝c．

由四边形ACDE的周长是得a＋b＋a＋b＋c＝，

∴2（a＋b）＋c＝，2c＋c＝，3c＝，c＝2，a＋b＝2，

∴2ab＝（a＋b）²−（a²＋b²）＝（a＋b）²−（c²）＝8−4＝4，

∴ab＝2，

∴△ABC面积＝ab＝1．