Question

你能化简(x－1)(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋…＋x＋1）吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情形入手：

分别计算下列各式的值：

①(x－1)(x＋1)＝x²－1；

②(x－1)(x²＋x＋1)＝x³－1；

③(x－1)(x³＋x²＋x＋1)＝x⁴－1；…

由此我们可以得到：(x－1)(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋…＋x＋1）＝________________；

请你利用上面的结论，完成下面三题的计算：

⑴2⁹⁹＋2⁹⁸＋2⁹⁷＋…＋2＋1；

⑵(－2)⁵⁰＋(－2)⁴⁹＋(－2)⁴⁸＋…＋(－2)＋1

⑶已知，求的值．

Answer

x100﹣1；（1）2100﹣1；（2） ;（3）1.

【解析】试题分析：根据所给出的式子找出规律，根据规律得出答案；(1)、在式子的前面添加(2－1)，从而根据规律得出答案；(2)、在等式的前面添加×(﹣2﹣1)，然后利用简便方法进行计算得出答案；(3)、根据题意得出（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，从而求出x的值，然后代入进行计算得出答案．

试题解析：观察所给等式可得（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1，

(1)、299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；

(2)、∵原式=×(﹣2﹣1)[+(﹣2)50+(﹣2)49+…+(﹣2)+1]= ×[ (﹣2)51﹣1]= ，

(3)、∵x3+x2+x+1=0， ∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，

解得：x=1（不合题意，舍去）或x=﹣1，

则x2008=（﹣1）2008=1．