Question

如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：BN=DN；

（2）求△ABC的周长

Answer

解:∵三角形ABCD是矩形．

∴∠ABC=∠BCD=90°．

∵△PBC和△QCD是等边三角形．

∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．

∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，

∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．

∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．

∴∠PBA=∠PCQ=30°．

【解析】试题分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；

（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．

（1）证明：在△ABN和△ADN中，

∵，

∴△ABN≌△ADN（ASA），

∴BN=DN．

（2）解：∵△ABN≌△ADN，

∴AD=AB=10，

又∵点M是BC中点，

∴MN是△BDC的中位线，

∴CD=2MN=6，

故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．