Question

如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；

（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．

试题解析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，AD=CD

∵CF∥AB，

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED

∴在△AED与△CFD中，

∠EAC＝∠FCA

AD＝CD

∠CFD＝∠AED

∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD

∴AE=CF

∵EF为线段AC的垂直平分线，

∴EC=EA，FC=FA

∴EC=EA=FC=FA

∴四边形AECF为菱形