Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

Answer

（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75．

【解析】试题分析：（1）连接OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论；

（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题；

试题解析：

（1）证明：连接OD，

∵EF垂直平分BD，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A，

∵∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°，

∴∠EDB＋∠ODA＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，

∵△AOH∽△ABC，

∴，

∴，

∴AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，

∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2 ，

∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2 ，

解得x＝4.75，

∴DE＝4.75．