Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

Answer

详见试题解析.

【解析】

试题分析：

（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．

试题解析：

（1）∵BD平分∠ABC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD

∴PM=PN

∵PD=PD    Rt△PMD≌Rt△PND

∴∠ADB=∠CDB           （5分）

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD

∴∠PMD=∠PND=90°

∵∠ADC=90°，

∴四边形MPND是矩形

∵PM=PN

∴四边形MPND是正方形                （10分）

考点：1.正方形的判定；2.全等三角形的判定与性质．