Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作∠DAC的平分线AM． ②连接BE并延长交AM于点F．

（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

Answer

（1）详见试题解析;（2）位置关系：AF∥BC，数量关系：AF=BC.

【解析】

试题分析：

（1）根据题意画出图形即可；

（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．

试题解析：

（1）如图

    （4分）

（2）位置关系：AF∥BC，数量关系：AF=BC，

理由：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，  ∠BAC+2∠ACB=180°

又∵∠BAC+2∠FAC=180°

∴∠ACB=∠FAC，

∴AF∥BC                 （7分）

∵E为AC中点

∴AE=EC

又∵∠FAE=∠BCE，∠AEF=∠CEB

∴△AEF≌△CEB

∴AF=BC             （10分）

考点：1.作图—复杂作图；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰三角形的性质．