如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
答案:
(1)先根据等边三角形的性质得到AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,即可得到∠ACD=∠BCE,从而可以证得结论;(2)6
【解析】
试题分析:(1)先根据等边三角形的性质得到AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,即可得到∠ACD=∠BCE,从而可以证得结论;
(2)过点C作CH⊥BQ于H,根据等边三角形及角平分线的性质可得∠DAC=30°,再根据△ACD≌△BCE可得∠QBC=∠DAC=30°,根据含30°的直角三角形的性质可得CH的长,最后根据勾股定理求解即可.
(1)∵△ABC与△DCE是等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)过点C作CH⊥BQ于H,
∵△ABC是等边三角形,AO是角平分线,
∴∠DAC=30°,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠QBC=∠DAC=30°,
∴CH=BC=×8=4,
∵PC=CQ=5,CH=4,
∴PH=QH=3,
∴PQ=6.
考点:等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,含30°的直角三角形的性质