Question

如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

Answer

（1）过O点作OE⊥CD于点E，先根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据角平分线的性质可得OE=OA，由OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，即可作出判断；（2）6

【解析】

试题分析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，先根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据角平分线的性质可得OE=OA，由OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，即可作出判断；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，先根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，从而可证得四边形ABFD是矩形，根据矩形的性质可得AD=BF，AB=DF，从而可得FC的长，再根据切线的性质求得DC的长，在Rt△DFC中，根据勾股定理即可求得DF的长，从而求得结果.

（1）过O点作OE⊥CD于点E，

∵AM切⊙O于点A，

∴OA⊥AD，

又∵DO平分∠ADC，

∴OE=OA，

∵OA为⊙O的半径，

∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，

∴CD是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴四边形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE，

∴DC=AD+BC=4+9=13，

在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，

∴DF==12，

∴AB=12，

∴⊙O的半径R是6．

考点：切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理