Question

已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．

①求证：CD=AN；

②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

Answer

①先根据平行线的性质可得∠DAC=∠NCA，再有MA=MC，∠AMD=∠CMN可证得△AMD≌△CMN，即可得到AD=CN，再结合AD∥CN可得四边形ADCN是平行四边形，从而得到结论；

②∵由∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，可得∠MCD=∠MDC，即可得到MD=MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，即可得到MD=MN=MA=MC，从而得到结论．

【解析】

试题分析：①∵CN∥AB，

∴∠DAC=∠NCA，

在△AMD和△CMN中，

∵，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN，

又∵AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD=AN；

②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MD=MC，

由①知四边形ADCN是平行四边形，

∴MD=MN=MA=MC，

∴AC=DN，

∴四边形ADCN是矩形．

考点：全等三角形的判定和性质，平行四边形、矩形的判定