Question

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．

（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之间有什么关系；（不必证明）

（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁，S₂，S₃之间的关系并加以证明；

（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，为使S₁，S₂，S₃之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；

（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

Answer

（1）S1=S2+S3     （2）S1=S2+S3，证明见解析

（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 证明见解析  

（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3

【解析】

试题分析：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2

（1）S1=S2+S3；

（2）S1=S2+S3．证明如下：

显然，S1=，S2=，S3=

∴S2+S3==S1，即S1=S2+S3．

（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：

∵所作三个三角形相似

∴

∴=1

∴S1=S2+S3；

（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．

考点：相似三角形的性质；勾股定理．