Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，

（1）当t=2时，求△PBQ的面积；

（2）当t=时，试说明△DPQ是直角三角形；

（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由．

Answer

（1）8  （2）见解析  （3）5.625s

【解析】

试题分析：（1）当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4，

∴BP=AB﹣AP=4，

∴△PBQ的面积=×4×4=8；

（2）当t=时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，

∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117，

∵PQ2+DQ2=DP2，

∴∠DQP=90°，

∴△DPQ是直角三角形．

（3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O．

设QB的长度为x，则QC的长度为（12﹣x），

∵DC∥BO，

∴∠C=∠QBO，∠CDP=∠O，

∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12﹣x，

∴=，即=，

解得：BO=，

∴AO=AB+BO=6+=，

∴DO=，PO=，

∵∠ADP=∠ODP，

∴12：DO=AP：PO，

代入解得x=0.75，

∴DP能平分∠ADQ，

∵点Q的速度为2cm/s，

∴P停止后Q往B走的路程为（6﹣0.75）=5.25cm．

∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s．

考点：矩形的性质；相似三角形的性质．