Question

已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．

（1）当t为多少时，DE=2DF；

（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．

（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．

　

Answer

（1）    （2）是定值，36    （3）能，t=

【解析】

试题分析：（1）由题意得：DE=AD﹣t=6﹣t，DF=2t，

∴6﹣t=2×2t，解得t=，

故当t=时，DE=2DF；

（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t，

S△BCF=×6×（12﹣2t）=36﹣6t，

∴四边形DEBF的面积=矩形的面积﹣S△ABE﹣S△BCF=72﹣6t﹣36+6t

=36，故四边形DEBF的面积为定值；

（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，则=或=，

由ED=6﹣t，DF=2t，FC=12﹣2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=，

故当t=时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．

考点：相似三角形的性质；一元一次方程的应用；三角形的面积．