Question

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连接CF．

（1）图中的哪些三角形相似？请证明你的判断；

（2）当矩形ABCD满足什么条件时，图中所有的三角形都两两相似？请说明理由．

Answer

（1）△AEF，△ECF和△DCE两两相似 （2）AD：CD=2：

【解析】

试题分析：（1）两个角相等的三角形，为相似三角形．设FE与CD的延长线交于G，因为E是AD的中点，证明三角形相等，进而证明相似．

（2）矩形的四个角相等，对边相等，根据相似三角形的对应边成比例，求出ED和CD的值，进而求出AD和CD的值．

解：（1）图中△AEF，△ECF和△DCE两两相似．

设FE与CD的延长线交于G，

因为E是AD的中点，CE⊥EF，

所以△AEF≌△DEG，△CEF≌△CEG．

Rt△CEG中ED⊥CG，

所以△CED，△EGD都与△CGE相似．

所以判断△AEF，△ECF和△DCE两两相似为真．

（2）要使图中三角形全部相似，根据（1），只要使△ECF∽△FCB，

但这两个直角三角形有公共斜边，

所以△ECF≌△FCB，

又因为AB与CE不平行，

所以∠2=∠3，但∠2=∠1，

所以∠1=30°．

∴ED：CD=1：．

故要使图中三角形全部相似的条件是AD：CD=2：．

考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．