Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有①∠EAF=45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE²+DC²=DE²（　　）

A．1个                   B．2个                  C．3个                  D．4个

Answer

B

【解析】

试题分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；

②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；

③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；

④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．

解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠CAD+∠BAE=45°．

∴∠EAF=45°，故①正确；

②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②错误；

③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，

∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，

即AE平分∠DAF，故③错误；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，

∴BE2+BF2=EF2（勾股定理），

∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，

又∵EF=DE，

∴BE2+CD2=DE2（等量代换）．故④正确．

故选B．

考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．