Question

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

A．    B．    C．    D．

Answer

D

【解析】

试题分析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），

∴OA=1，OD=2，

设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，

根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，

∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x，

∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，

∴△BAA1∽△B1A1A2，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，

∴AB=AD=BC=，

∴S1=5，

∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

∴tan∠BAA1===，

∴A1B=，

∴A1C=BC+A1B=，

∴S2=×5=5×（）2，

∴==，

∴A2B1=×=，

∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×（）2，

∴S3=×5=5×（）4，

由此可得：Sn=5×（）2n﹣2，

∴S2012=5×（）2×2012﹣2=5×（）4022．

故选D．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．