Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，设AN=x，BM=y．

（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；

（2）连接CN，当以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切时，求∠ACN的正切值；

（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．

Answer

（1）y=（0＜x＜6）      （2）tan∠ACN=

（3）AN的长为2或

【解析】

试题分析：（1）解：∵MN∥AO，

∴△BMN∽△BOA，

∴=，

∵∠C=90°，AC=BC，AB=6，

∴由勾股定理得：BC=3，

∵O是BC边上的中点，

∴BO=，

∵AN=x，BM=y，

∴=，

∴y=（0＜x＜6）；

（2）解：

∵以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切，

∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM，

∴MG=MN，

∴∠MNG=∠G，

又∵∠MNG=∠AND，

∴∠AND=∠G，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠DAN=∠MBG，

又∵AN=BG，

∴△AND≌△BGM，

∴DN=MG=MN，

∵∠ACB=90°，

∴CN=DN，

∴∠ACN=∠D，

∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC边上的中点，

∴tan∠CAO==，

∵MN∥AO，

∴∠CAO=∠D，

∴∠CAO=∠ACN，

∴tan∠ACN=；

（3）解：∵∠DAN=∠MBG，当△ADN与△MBG相似时，分为两种情况：

①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E，

tan∠BMG==，

∵∠ACB=90°，GE⊥BC，

∴AC∥GE，

∴∠BGE=∠CAB=45°，

∵∠ABC=∠GBE=45°，

∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，

∴BE=EG，

∴BM=BE，

∴由勾股定理得：y=x，

∵由（1）知：y=，

∴解得：x=2；

②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，

∴tan∠G==，

∴FG=2MF，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠MBF=∠CAB=45°，

∵∠MFB=90°，

∴∠FMB=∠MBF=45°，

∴BF=MF，

∵FG=2MF=BF+BG，

∴BF=BG，

∴x=y，

由（1）知：y=，

∴解得：x=；

综上所述，当△ADN与△MBG相似时，AN的长为2或．

考点：相似形综合题；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．