Question

已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．

（1）如图1，当PC=PB时，则S_△PBE、S_△PCF S_△BPC之间的数量关系为　_________　；

（2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S_△PBE+S_△PCF=4S_△BPG；

（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF于点N，若S_△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．

Answer

（1）S△PBE+S△PCF=S△BPC；     （2）见解析    （3）DN=2或3

【解析】

试题分析：（1）如图1所示：过点P作PI⊥BC于点I，

∵PB=PC，

∴PI∥BE∥CF，

∴PI是梯形BCFE的中位线，

∴PI=（BE+CF），

∵△PBC是等腰直角三角形，

∴PI=AB=CI，

∴S△PBE+S△PCF=BE?BI+CF?CI=BE×BC+CF?BC=BC（BE+CF）=BC?PI=S△PBC；

故答案为：S△PBE+S△PCF=S△BPC；

（2）如图2，过点P作PG⊥EF交BC于点G，∠EPG=90°，

∵∠BPC=90°，

∴∠EPB+∠BPG=90°，

∵∠BPG+∠CPG=90°，

∴∠EPB=∠CPG，

同理，∵∠EBP+∠PBC=90°，∠PBC+∠BCP=90°，

∴∠EBP=∠BCP，

∴△EPB∽△GPC，

∵PC=2PB，

∴=（）2=

∴S△GPC=4S△EPB，

同理可得S△FPC=4S△GPB，

∵S△PBG+S△PGC=S△BPC，

∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC；

（3）如图3，设正方形的边长为a（a＞0），

∵∠BPC=90°，PC=2PB，S△BPC=80，

∴??=80，解得a=20，

由（2）知，△EPB∽△GPC，

∴CG=2BE=12，

∴BG=8，

∴CF=16，DF=4，

过点P作PM∥AB交BC于点M．交AD于点H，过点P作PT⊥CD于T，

∵PM⊥BC，BC=20，S△BPC=80，

∴PM=8，

∴PH=12，PT=16，FT=8，

∵∠PQF=90°，

∴由勾股定理得，（HQ2+HP2）+（DQ2+DF2）=PT2+TF2，即（16﹣DQ）2+122+（DQ2+42）=162+82，解得DQ=4或DQ=12，

当DQ=4时，

∵DQ=DF=4，∠PQF=90°，DN为∠QDF的角平分线，

∴DN=QD=2；

当DQ=12时，过点N作NN1⊥QD于N1，

∵∠QOF=90°，DN为∠QDF的角平分线，

∴∠QDN=45°，

∵NN1⊥AD，

∴NN1=N1D，△QDF∽△QN1N，

∴=，=，解得NN1=3，

∴DN===3，

综上所述，DN=2或3．

考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．