Question

已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B，D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；

（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积s与t的函数关系式；

（3）当D与C重合时，点H为直线DF上一动点，现将△DBH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK，则是否存在点H使得△BHK的面积为？若存在，试求出CH的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）8或10       （2）s=（12﹣t）2        （3）见解析

【解析】

试题分析：（1）当F在边AB上时，如图（1），作AM⊥BC，则AM=AB=×6=9，

∵AM⊥BC，∠FEB=90°

∴EF∥AM，

∴△BEF∽△BMA，

∴=，即=，解得：BE=2，则移动的距离是：6+2=8，则t==8；

当F在AC上时，如图（2）同理可得：EC=2，则移动的距离是：2×6﹣2=12﹣2=10，则t==10，

故t的值是：8或10；

（2）当0＜t≤6时，重合部分是三角形，如图（3），设AB与BE交于点N，

则BD=t，

则NB=BD=t，ND=BD=×t=t，则s=NB?ND=×t×t=t2；

当6＜t＜10时，如图（4），则CD=t﹣6，

∵∠TCB=60°，∠D=30°

∴∠DTC=30°，

∴∠D=∠DTC，

∴TC=CD=t﹣6，

则在直角△THC中，TH=TC=（t﹣6）=t﹣9，

则s=18﹣CD?TH=18﹣（t﹣6）（t﹣9）=﹣（t﹣6）2+18；

当10≤t＜12时，重合部分如图（5），

EC=12﹣t，

则直角△ECJ中，EJ=EC=（12﹣t），

则s=EC?EJ=×（12﹣t）2=（12﹣t）2．

（3）当B，H，K在一条直线上时，CH=CK=BC?tan30°=6×=6，

设CH=x，作HL⊥BC于点L，则HL=x，

△CKH是边长是x的等边三角形，则面积是x2，

△BCH的面积是：BC?HL=3×x=x，

△BCK的面积是：3x．

当0＜CH＜6时，△BHK的面积=△BCK的面积﹣△CKH的面积﹣△BCH的面积，即3x﹣x﹣x2=4，方程无解．

当CH＞6时，△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积﹣△BCK的面积，即x2+x﹣3x=4，解得：x=8或﹣2（舍去），故x=8

总之，CH=8．

考点：相似形综合题；等边三角形的性质；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．5