Question

如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的△DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①说明DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出理由；若不成立，请说明理由；

⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出结论，不用说明理由。

Answer

解:(1)①连接BD,∵AB=BC,∠ABC=90，∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠C=45 ∵D是AC的中点，∴BD是△ABC的中线，∴BD是△ABC的高，

∴∠BDC=90,∴∠DBC=45=∠DCB,∴BD=CD=AD,∴∠DBC=∠DAB=45,

∵∠EDF=90=∠ADB,∠EDB为公共角，∴∠ADM=∠BDN,∴△ADM≌△BDN(ASA),

∴DM=DN.

②四边形DMBN的面积不发生变化，理由如下：

由①可知S△ADM=S△BDN,∴S四边形DMBN=S△ADB,已知△ADB的面积是一个定值

∴四边形DMBN的面积不发生变化，∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC,

∴S四边形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4.

(2)连接BD,由（1）可知，BD=CD,∵FDE=90,∴∠FDN=90,

∵∠BDC=90,∠FDC是公共角，∴∠BDM=∠CDN,∵∠MBE=∠NDE,

∠BEM=∠NED,∴∠M=∠N,∴△BMD≌△CND(AAS)

∴DM=DN

(3)DM=DN

【解析】（１）连结BD，证明△BDM与△CDN全等，得DM＝DN 

（２）连结BD，同理可证△BDM与△CDN全等，得DM＝DN 

    （３）结论成立 DM＝DN