Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（1，0）、

B（5，0）两点．

 (1). （3分）求抛物线的解析式和顶点C的坐标； 

(2). （7分）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为（0°＜＜90°)

    ①当等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？

②设，求s与t之间的函数关系式．

Answer

解：（1）根据题意，得     解得    ……………（2分）

∴=  ∴顶点C的坐标为（3，2）．……………（3分）

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，       ∴∠DCB=∠CBD=45°．……………（4分）

ⅰ）若CQ=CP，则∠PCD=∠PCQ=22.5°．

∴当=22.5°时，△CPQ是等腰三角形．……………（5分）

ⅱ）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，

此时点Q与D重合，点P与A重合．

∴当=45°时，△CPQ是等腰三角形．……………（6分）

ⅲ）若PC=PQ， ∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．

∴=0°，不合题意．  

 ∴当=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．………（7分）

② 连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，∴∠ACD=∠CAD=，

 AC= BC=……………（8分）

ⅰ）当时，∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°．

∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°．∴∠ACQ=∠BPC．  又∵∠CAQ=∠PBC=45°，

∴△ACQ∽△BPC．∴．∴AQ·BP=AC·BC=×=8 ……………（9分）

ⅱ）当时，同理可得AQ·BP=AC·BC=8    ∴．……………（10分）

【解析】略