Question

方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4．求：

 (1). （5分）cos∠F的值；

(2). （3分）BE的长．

Answer

 解：(1)连结OE.∵DF切半圆于E，∴∠OEF=90°，在正方形ABCD中，AB=AD，

∠DAF=90°，

∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F为公共角，

∴△OEF∽△DAF. ………………2分

∴.即AF=2EF. ………………3分

∵DF切半圆O于E，∴EF2=FB·FA=BF·2EF，∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF－BF=12，FO=AB+BF=×12+4=10.在Rt△OEF中，

cos∠F=.…………………………5分

（2）连结AE，∵DF切半圆于E，∴∠EAF=∠BEF.∵∠F=∠F，∴△BEF∽△EAF.

∴.    ……………………………6分

设BE=k(k＞0)，则AE=2k，∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB=90°.

 在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，（2k）2+k2=122,∴BE=k=. ……………………8分

【解析】略